Questions sur les equations fonctionnelles

[Nayssi]

Bonsoir,
Je voudrais juste poser quelques questions sur les équations fonctionnelles.

1) si on a une équation de la forme : Trouver toutes les fonctions vérifiant P et Q
Est ce que trouver toutes les fonctions vérifiant P puis s'assurer que celles-ci vérifient Q permet de conclure?

2) si on a une équation de la forme : Trouver toutes les fonctions de IR -> E vérifiant P
Est que montrer qu'aucune fonction de IN -> E ne vérifie la condition permet de conclure qu'aucune fonction n'est solution?

3) si on veut trouver toutes les fonctions de IR*+ vers E vérifiant P
Est ce qu'une fonction définie de IR vers E ( dont la restriction à IR*+ envoie toujours vers E) verifiant la conditon est solution??

Voilà,
Merci d'avance pour vos réponses !!

[Nayssi]

Pas de réponses??

[Guillaume]

Bonjour.


1) Oui.
En effet, les fonctions trouvées vérifieront bien P et Q.
En pratique, ça peut être difficile, par exemple si P est peu restrictive (donc beaucoup de fonctions remplissant cette condition).
On peut aussi imaginer des cas dans lesquels il faut jongler entre P et Q pour trouver de plus en plus d'indices sur la fonction.

2) A vrai dire ça dépend de la condition, qui peut même ne pas avoir de sens pour une fonction définie sur IN seulement (exemple : "pour tout x, f(pi*x)=f(x)").
Mais si la condition se décline naturellement sur IN (comme sous-ensemble de IR), alors effectivement, toute fonction qui ne respecte pas la condition sur IN ne pourra a fortiori pas la respecter sur IR........
Quand même quelques petits contre-exemples, avec E=IR.
- contre-exemple 1 : condition P : "f est bijective"
- contre-exemple 2 : condition P : "tout élément de [0,1] a un antécédent par f
Disons que ce sont des cas où la condition ne se décline par naturellement.

3) Oui de façon évidente si la condition est définie par "pour tout x dans IR, p(x)" avec p(x) une propriété dépendant de x et de f.
Pour le cas plus général, on peut encore trouver des contre-exemples dans l'esprit de ceux de 2). Par exemple : E=IR et P : "f est surjective".


Guillaume

[Nayssi]

Salut,
Merci pour toutes ces précisions !