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Polynômes cyclotomiques

Polynômes cyclotomiques

Messagepar Varal7 » Dim 4 Sep 2011 19:16

Comme promis, voici une preuve du fameux théorème sur les polynômes cyclotomiques.
Bonne rentrée à tous ...
Dernière édition par Varal7 le Mar 6 Sep 2011 19:18, édité 3 fois.
Varal7
 
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Re: Polynômes cyclotomiques

Messagepar cyril » Dim 4 Sep 2011 21:23

Merci beaucoup pour cette preuve.
Il y a juste deux toutes petites erreurs en page 2 :
Dans le corollaire 1, tu as écrit "p carré divise phi n de x" alors que c'est "p carré ne divise pas phi n de x";
et puis en haut de la page 2, tu as écrit "sutie" au lieu de "suite".
Encore merci d'avoir écrit cette preuve sur les polynômes cyclotomiques, lesquels permettaient de résoudre trois des quatre exos du test d'arithmétique avancée à Grésillon.
Bonne rentrée,
Cyril
cyril
 
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Re: Polynômes cyclotomiques

Messagepar rmonat » Dim 4 Sep 2011 22:09

Très beau travail Varal :)

Bonne rentrée à toi ! (ici chez les paresseux on rentre après demain :mrgreen:)
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Re: Polynômes cyclotomiques

Messagepar Varal7 » Lun 5 Sep 2011 12:26

Merci Cyril, c'est corrigé.

À Paris, les magnoludoviciens non-prépateux ont aussi un jour de plus pour glander :P
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Re: Polynômes cyclotomiques

Messagepar Noé » Lun 5 Sep 2011 14:43

Vous pouvez toujours vous vanter, nous à l'ENS on rentre lundi prochain :lol: .
"Invoquons les mânes des illustres ancêtres qui ont fait des bons théorèmes pour nous !" (S. Dupont)
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Re: Polynômes cyclotomiques

Messagepar Igor » Sam 10 Sep 2011 22:30

Je viens de voir ce texte, super :) !
Quelques détails pas très importants:
- "petit theroeme de Fermat" -> "petit théorème de Fermat"
- il faudrait dire que v_p est la valuation p-adique

Sinon, on peut donner un argument un peu plus simple dans le cas [tex]\omega<n[/tex] pour montrer que [tex]p[/tex] divise [tex]n[/tex]: l'expression (4) montre que le polynôme [tex]P(X)=X^n-1[/tex], à coefficients dans [tex]\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}[/tex], a [tex]x[/tex] comme racine double. [tex]x[/tex] annule donc P'(X). Ainsi [tex]p[/tex] divise [tex]n x^ {n-1}[/tex]. Comme [tex]p[/tex] et [tex]x[/tex] sont premiers entre eux, on en déduit que [tex]p[/tex] divise [tex]n[/tex].

Deux petits exercices d'application :)
- Si [tex]p[/tex] est premier, montrer que [tex]p^p-1[/tex] a un facteur premier congru à [tex]1[/tex] modulo [tex]p[/tex]
- Trouver tous les entiers [tex]x,y[/tex] tels que [tex]\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1.[/tex]
Igor
 
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Re: Polynômes cyclotomiques

Messagepar momo1729 » Sam 28 Avr 2012 19:47

Comment ça se fait qu'on ne peut plus trouver le document ?
momo1729
 
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