la fonction inverse est elle toujours involutive ?

[Félix]

Bonjour, suite à un devoir de maths (montrer que tout nombre non nul est l'inverse de son inverse) je me suis demandé si la fonction inverse était involutive dans tout corps. Tout d'abord, cela parait simple dans un corps commutatif. Est-ce que c'est vrai aussi dans un corps Non commutatif (j'ai vu sur wikipédia que c'était vrai dans le corps des quaternions) ? Si non, avez-vous un contre-exemple ?

[Adrien]

Non, mais j'ai une question pour toi, Félix: comment s'inscrit-on au test de sélection de l'OFM ?

[Noé]

Dans un corps non commutatif, ou plus généralement dans un groupe multiplicatif, par définition, un inverse (ou plutôt l'inverse, puisque la définition implique qu'il est unique) d'un élément [tex]x[/tex] est un élément [tex]x^{- 1}[/tex] tel que [tex]xx^{- 1} = x^{-1}x = 1[/tex]. En particulier, par définition, un élément commute avec son inverse. De plus, la définition montre que l'inverse de [tex]x^{- 1}[/tex] est [tex]x[/tex] : l'inversion est donc involutive.

[Félix]

Merci. Je n'avais pas vu que la définition de l'inverse impliquait à la fois axb=1 et bxa=1.
Pour Adrien : je pense qu'il faut regarder le site Animath de temps en temps, le test sera annoncé.