la fonction inverse est elle toujours involutive ?

la fonction inverse est elle toujours involutive ?

Messagepar Félix » Sam 8 Sep 2012 12:58

Bonjour, suite à un devoir de maths (montrer que tout nombre non nul est l'inverse de son inverse) je me suis demandé si la fonction inverse était involutive dans tout corps. Tout d'abord, cela parait simple dans un corps commutatif. Est-ce que c'est vrai aussi dans un corps Non commutatif (j'ai vu sur wikipédia que c'était vrai dans le corps des quaternions) ? Si non, avez-vous un contre-exemple ?
Félix
 
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Re: la fonction inverse est elle toujours involutive ?

Messagepar Adrien » Sam 8 Sep 2012 14:11

Non, mais j'ai une question pour toi, Félix: comment s'inscrit-on au test de sélection de l'OFM ?
Adrien
 
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Re: la fonction inverse est elle toujours involutive ?

Messagepar Noé » Sam 8 Sep 2012 15:10

Dans un corps non commutatif, ou plus généralement dans un groupe multiplicatif, par définition, un inverse (ou plutôt l'inverse, puisque la définition implique qu'il est unique) d'un élément [tex]x[/tex] est un élément [tex]x^{- 1}[/tex] tel que [tex]xx^{- 1} = x^{-1}x = 1[/tex]. En particulier, par définition, un élément commute avec son inverse. De plus, la définition montre que l'inverse de [tex]x^{- 1}[/tex] est [tex]x[/tex] : l'inversion est donc involutive.
"Invoquons les mânes des illustres ancêtres qui ont fait des bons théorèmes pour nous !" (S. Dupont)
Noé
 
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Re: la fonction inverse est elle toujours involutive ?

Messagepar Félix » Sam 8 Sep 2012 21:43

Merci. Je n'avais pas vu que la définition de l'inverse impliquait à la fois axb=1 et bxa=1.
Pour Adrien : je pense qu'il faut regarder le site Animath de temps en temps, le test sera annoncé.
Félix
 
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