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Une suite modulo N

Une suite modulo N

Messagepar Noé » Dim 27 Déc 2009 15:18

Soit [tex](u_n)[/tex] une suite d'entiers définie par ses deux premiers termes et la relation de récurrence [tex]u_{n+2}=4u_{n+1}-5u_n[/tex]. Pour tout entier naturel [tex]N\geq 2[/tex], on note [tex]f(N)[/tex] le nombre de valeurs prise par la suite [tex](u_n)[/tex] modulo [tex]N[/tex]. Montrer que [tex]inf\{\frac{f(N)}{N} | N\geq 2\}=0[/tex].

Le problème est de moi, et je ne suis pas tout à fait sur qu'il soit vrai : je n'ai fait qu'un vague brouillon de la solution et il est possible que j'ai fait des erreurs. Ma solution est absolument abominable et utilise des outils pas du tout olympiques, mais a mon avis on doit pouvoir faire plus simple, peut-être même qu'il y a une solution triviale que j'ai pas vue.
(Et au moins Pierre ne pourra pas arriver dans quelques minutes avec les références du problème et une solution fraîchement recopiée ;) ).
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Re: Une suite modulo N

Messagepar Thomas B » Dim 27 Déc 2009 17:34

Je vais chercher, mais pourquoi 4 et 5 en particulier dans ta relation de récurrence, parce que si ça se généralise pas ça doit être très moche :?
Sinon ta solution abominable ça utilise quoi ? (très très vaguement)
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Re: Une suite modulo N

Messagepar Noé » Dim 27 Déc 2009 20:31

Je suis quasiment certain que ça marche pour toute suite de ce type, mais celle là est un cas particulier et je pense que dans le cas général la démo est beaucoup plus difficile. Je te donne plus de détails par MP pour pas influencer les autres (s'ils existent), vu que le forum n'a pas de balise spoiler...
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Re: Une suite modulo N

Messagepar Thomas B » Dim 27 Déc 2009 21:13

Vu l'activité de ce forum en ce moment, je ne pense pas que "les autres" soient très nombreux. :D
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Re: Une suite modulo N

Messagepar Noé » Dim 27 Déc 2009 21:54

C'est ce que je croyais aussi quand j'ai posté le problème précédent... Mais une heure après, Pierre est arrivé, en prenant juste le temps qu'il faut pour chercher les références du problème dans sa bibliothèque... :mrgreen:
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Re: Une suite modulo N

Messagepar pierre » Lun 28 Déc 2009 00:40

Nan...juste que le responsable du Coin des Problèmes de Quadrature, c'est moi. Alors, je savais très bien d'où ça venait ton énoncé et une heure, c'était 56 min pour voir ton message et 4 min pour retrouver le n° exact. :mrgreen:

Pierre, qui du coup ne s'intéressera pas à cet énoncé puisque c'est comme ça.
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Re: Une suite modulo N

Messagepar Thomas B » Lun 28 Déc 2009 11:16

De toute façon, TOUT est sur Mathlinks non ? :mrgreen:
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Re: Une suite modulo N

Messagepar Noé » Lun 28 Déc 2009 13:02

J'ai fait une GROSSE erreur dans ma preuve :oops: :oops: :oops: :oops: :oops:
Mais ça doit être réparable, quitte à se torturer les neurones pendant une page de plus.
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Re: Une suite modulo N

Messagepar Thomas B » Lun 28 Déc 2009 13:11

Moi la mienne elle est juste tralalèreuh :P :P
(enfin, j'espère...)

EDIT : Ah ben en fait non elle est fausse aussi du coup mais j'ai rectifié.
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Re: Une suite modulo N

Messagepar antony » Jeu 7 Jan 2010 01:59

((petit) spoiler)
J'ai une solution que je sens pas optimale du tout (je sens que je dois être en train d'utiliser un marteau pour écraser une mouche à plusieurs endroits :-)) qui utilise, en vrac, les théorèmes des restes chinois, de la progression arithmétique (de Dirichlet) et de la réciprocité quadratique. Qui dit mieux ?
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