Arithmétique et polynômes

Arithmétique et polynômes

Messagepar Noé » Mer 23 Déc 2009 12:46

Petit problème que mon prof de maths ne savait pas résoudre (bon en même temps il avait pas beaucoup cherché) :
Soient [tex]P[/tex] et [tex]Q[/tex] deux polynômes à coefficients entiers, premiers entre eux. Pour tout [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex], on pose [tex]u_n=PGCD(P(n),Q(n))[/tex]. Montrer que [tex]u_n[/tex] est périodique.

Je sais pas d'ou il vient, mais il ressemble bien à un problème d'olympiade... Bonne recherche.
"Invoquons les mânes des illustres ancêtres qui ont fait des bons théorèmes pour nous !" (S. Dupont)
Noé
 
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Re: Arithmétique et polynômes

Messagepar pierre » Mer 23 Déc 2009 13:53

Cet exo a été posé dans le Coin des Problèmes du journal Quadrature, énoncé E-257.
Une solution est parue dans le n°67, janvier-Mars 2008, p.45.

L'idée de base est d'utiliser Bezout, pour écrire qu'il existe des polynômes [tex]A,B[/tex] et un entier [tex]k[/tex] strictement positif tels que [tex]AP+BQ=k[/tex].
Si [tex]d_n[/tex] est le pgcd de [tex]P(n)[/tex] et [tex]Q(n)[/tex], compte-tenu que [tex]k[/tex] divise [tex]P(n+k)-P(n)[/tex] et [tex]Q(n+k)-Q(n)[/tex], on en déduit facilement que [tex]d_n[/tex] divise [tex]d_{n+k}[/tex] et réciproquement, d'où la conclusion.

Pierre.
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