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Problème tordu

Problème tordu

Messagepar Noé » Lun 29 Déc 2008 23:42

Soit [tex]f:\mathbb{N} * \rightarrow \mathbb{Q}[/tex] une fonction telle que [tex]f(1)=0[/tex], [tex]f(2)=1[/tex] et pour tout [tex]n\epsilon \mathbb{N*}[/tex] :
[tex]f(2n+1)=\frac{f(n)}{f(2n)-f(n)+1}[/tex]
[tex]f(4n)=2f(2n)-f(n)[/tex]
[tex]f(4n+2)=\frac{f(2n)}{f(2n)-f(n)+1}[/tex]
Soit [tex]n\geq 3[/tex] un entier naturel. Trouver le nombre d'entiers m tels que [tex]1\leq m\leq 2^{n}[/tex] et [tex]f(m)\geq 1[/tex].
Bonne chance et bonnes fêtes à tous !
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Re: Problème tordu

Messagepar Ilia » Mar 30 Déc 2008 18:47

Tres joli probleme ! La reponse est :
[tex]2^{n-1} - \frac12 \sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor} C_{2k}^k[/tex].
Quant a la preuve, je la posterai un jour ou j'aurai du temps libre, chose qui risque de ne pas arriver bientot... (j'ai deja perdu suffisemment de temps sur ce probleme au lieu de reviser pour mes multiples examens !)
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Re: Problème tordu

Messagepar Noé » Jeu 1 Jan 2009 19:18

En effet, je trouve le même résultat. Ma preuve repose sur le fait que f(n) est le quotient du nombre de 0 sur le nombre de 1 dans l'écriture en base 2 de n.
"Invoquons les mânes des illustres ancêtres qui ont fait des bons théorèmes pour nous !" (S. Dupont)
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Re: Problème tordu

Messagepar Ilia » Ven 2 Jan 2009 11:41

Oui, la mienne aussi. (En fait, une fois qu'on a dit ça, ça permet de trouver assez facilement la solution du problème.)
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