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exo d'arithm

exo d'arithm

Messagepar shiamo » Lun 17 Nov 2008 17:29

soit a,b et c des entiers naturels
on suppose que a^2/(b+c) et b^2/(a+c) et c^2/(a+b) sont premiers
démontrer que a=b=c
shiamo
 
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Re: exo d'arithm

Messagepar pierre » Mar 18 Nov 2008 09:29

On pose [tex]p = \frac {a^2}{b+c}, q = \frac{b^2}{c+a}, r = \frac {c^2}{a+b}[/tex], avec [tex]p,q,r[/tex] premiers.
Notons qu'alors [tex]p,q,r[/tex] divisent respectivement [tex]a,b,c[/tex].

On peut toujours supposer que [tex]a\leq b \leq c[/tex], et donc [tex]2c \geq a+b = \frac {c^2}{r}[/tex] d'où [tex]2r \geq c[/tex]. Comme [tex]r[/tex] divise [tex]c[/tex], c'est donc que [tex]r=c[/tex] ou [tex]r=2c[/tex].
Dans le dernier cas, cela signifie que [tex]2c=a+b[/tex] et, compte-tenu de l'ordre imposé, que [tex]a=b=c[/tex].

Dans le cas où [tex]r=c[/tex], il vient [tex]a+b=c=r[/tex]. En remplaçant, il vient [tex]a^2 = p(a+2b)[/tex], que l'on peut voir comme une équation du second degré en [tex]a[/tex]. Son discriminant est [tex]p(p+8b)[/tex] et doit être un carré, d'où [tex]p[/tex] divise [tex]8b[/tex].
Si [tex]p[/tex] divise [tex]b[/tex], comme il divise [tex]a[/tex], il divise [tex]a+b[/tex] et donc [tex]c[/tex], d'où [tex]p=c[/tex] (puisque [tex]c[/tex] est premier dans ce cas). Mais alors [tex]c[/tex] divise [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex], et comme c'est le plus grand des trois, on a [tex]a=b=c[/tex], en contradiction avec [tex]a+b=c[/tex].
Si [tex]p=2[/tex], en revenant au discriminant, il vient qu'il existe un entier [tex]x[/tex] tel que [tex]b=\frac{x^2-1}{4}[/tex] et [tex]a=1+x[/tex], d'où [tex]c=a+b = \frac{(1+x)(3+x)}{4}[/tex] qui est pair, d'où [tex]c=2[/tex] et il est facile de vérifier que c'est impossible.

Pierre.
pierre
 
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