exercice d'olympiade marocaine

exercice d'olympiade marocaine

Messagepar yoyo » Ven 29 Août 2008 04:19

je poste un exercice d'olympiade marocaine 2008 que j'ai pas trouver encore de solution:
etant donné 3 nombres reelles positives verifiant :
1/(a+b+1) + 1/(b+c+1) +1/(c+a+1) >= 1 montrer que:
a+b+c >= ab+bc+ca qui peut m'aider et merci!
:D :roll:
yoyo
 
Message(s) : 1
Inscrit le : Ven 29 Août 2008 04:05

Re: exercice d'olympiade marocaine

Messagepar pierre » Sam 30 Août 2008 22:43

Bon, c'est peut-être pas la solution attendue par le jury, mais je crois que ça marche :

1er cas : si [tex]a+b+c \leq 3.[/tex]
Il est bien connu que [tex]ab+bc+ca \leq \frac 1 3 (a+b+c)^2[/tex] et donc [tex]ab+bc+ca \leq a+b+c[/tex].
Notons qu'il y a égalité si et seulement si [tex]a=b=c \leq 1[/tex] (l'inégalité vient de la contrainte liée au cas, et aussi de la contrainte initiale de l'énoncé).

2ième cas : si [tex]a+b+c > 3[/tex].
En virant les dénominateurs, on réécrit la contrainte sous la forme [tex]2(a+b+c)+2 \geq a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2 + 2abc[/tex] (1)
puis sous la forme [tex]2(a+b+c)+abc+2 \geq (a+b+c)(ab+bc+ca)[/tex] (2)

De (1) et IAG sur les six premiers termes du membre de droite, on déduit que [tex]a+b+c+1 \geq 4abc.[/tex] (3)
De (2), on déduit que pour conclure, il suffit de prouver que [tex](a+b+c)^2 \geq 2(a+b+c)+abc+2.[/tex]
On pose [tex]X=a+b+c[/tex], et donc [tex]X >3.[/tex]
De (3), on a [tex]2(a+b+c)+abc+2 = 2(X+1)+abc \leq \frac 9 4 (X+1).[/tex]
Il suffit donc de prouver que [tex]X^2 \geq \frac 9 4 (X+1)[/tex], mais ça c'est équivalent à [tex]4(X-3)(X+ \frac 3 2) \geq 0[/tex], qui est clairement vraie dans notre cas.

Pierre, qui se dépêche de répondre avant Maxime Z. ;)
pierre
 
Message(s) : 158
Inscrit le : Lun 30 Juin 2008 10:13

Re: exercice d'olympiade marocaine

Messagepar AMINE HIMEDI » Lun 3 Nov 2008 16:52

je passais par le forum...
par l'inegalité de cauchy shwartz: (a+b+1)(a+b+c²)>=(a+b+c)²
et donc 1/(a+b+1)=<(a+b+c²)/(a+b+c)²
ce ki donne par permutation cyc : 1=<sigma(1/a+b+1)=<(2(a+b+c)+a²+b²+c²)/(a+b+c)²
ce ki implike ke a+b+c>=ab+bc+ca.
et voila ;)
AMINE HIMEDI
 


Retour vers Problèmes mathématiques

Qui est en ligne ?

Utilisateur(s) parcourant ce forum : Aucun utilisateur inscrit et 2 invité(s)

cron