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Congruences, nombres premiers

Congruences, nombres premiers

Messagepar Emmanuel » Mer 27 Août 2008 19:20

Bonsoir,
soit [tex]p=(k-1)!h+1[/tex] avec [tex]k>5[/tex]
Montrer que [tex]p\ premier[/tex] <==> [tex](p-k)!\equiv (-1)^th\ (mod \ p)[/tex]
où [tex]t=p+[p/h][/tex]
Bonne chance
Emmanuel
Emmanuel
 
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Re: Congruences, nombres premiers

Messagepar Noé » Jeu 23 Avr 2009 14:56

Ca ne serait pas plutôt [tex]t=k-1[/tex] ?
Dans ce cas, j'ai une solution :
[tex]p[/tex] [tex]premier\Leftrightarrow(p-1)!\equiv -1 [p][/tex] (théorème de Wilson)
[tex]\Leftrightarrow (p-k)!\prod_{i=1}^{k-1}(p-i)\equiv -1 [p][/tex]
Or, [tex]\prod_{i=1}^{k-1}(p-i)\equiv \prod_{i=1}^{k-1}(-i)\equiv (-1)^{k-1}(k-1)! [p][/tex]
Donc [tex]p[/tex] [tex]premier\Leftrightarrow(p-k)!(k-1)!\equiv (-1)^{k} [p][/tex]
En multiplant les deux membres par [tex]h[/tex], on obtient :
[tex](p-k)!(k-1)!h\equiv (-1)^{k}h [p][/tex]
ce qui est équivalent à la ligne précédente, puisque h est premier avec p.
Or, [tex](k-1)!h\equiv p-1\equiv -1 [p][/tex]
Donc [tex]p[/tex] [tex]premier\Leftrightarrow (p-k)!\equiv (-1)^{k-1}h [p][/tex]
Noé
 
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