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Démonstration de la droite d'Euler

Démonstration de la droite d'Euler

Messagepar arthur8128 » Ven 14 Oct 2011 21:30

Bonjour, est ce que quelqu'un aurai une solution pour prouver que les points O I G et H sont alignés ou:
soit un triangle ABC :
G est le centre de gravité du triangle
H est l'orthocentre du triangle
O est le centre du cercle circonscrit du triangle
I est le centre du cercle inscrit du triangle
Merci
arthur8128
 
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Re: Démonstration de la droite d'Euler

Messagepar Boumba Daboum » Lun 17 Oct 2011 13:21

Soit X tel que
[tex]\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}[/tex]
Alors
[tex]\overrightarrow{OX} = (\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GB})
+ (\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GC})[/tex]
[tex]\overrightarrow{OX} = 3\overrightarrow{OG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})[/tex]
[tex]\overrightarrow{OX} = 3\overrightarrow{OG}[/tex] (par définition du barycentre)

Considérons AX :
[tex]\overrightarrow{AX} = \overrightarrow{OX} - \overrightarrow{OA} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2 \overrightarrow{OMa}[/tex] avec Ma milieu de [BC] (puisque O est sur la médiatrice de [BC])

Donc AX est // à OMa, et donc perpendiculaire à BC : X appartient à la hauteur issue de A.
De même, X appartient à la hauteur issue de B, et à la hauteur issue de C.
X n'est autre que H, orthocentre du triangle.

Comme OH = OX = 3OG, H O et G sont alignés, sur la droite que l'on nomme droite d'Euler.

I n'appartient pas à la droite d'Euler, contrairement au centre du cercle d'Euler.
Boumba Daboum
 
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Re: Démonstration de la droite d'Euler

Messagepar martin » Dim 30 Oct 2011 00:29

On sait que l'orthocentre H est le centre du cercle circonscrit au triangle "double" A' B' C', où B'C' est la parallèle à BC passant par A etc. L'homothétie de rapport -1/2 qui envoie A'B'C' sur ABC a pour centre un point qui est sur les droites AA', BB', CC'; ce point est donc le centre de gravité du triangle A'B'C', mais aussi du triangle ABC. C'est donc G. Comme cette homothétie envoie H sur O, les trois points HGO sont bien alignés (et en plus GO = -GH/2).
Martin Andler
Président d'Animath
martin
 
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