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Variante d'un vieux problème d'arithmétique

Variante d'un vieux problème d'arithmétique

Messagepar Noé » Mar 26 Juil 2011 13:56

C'est inspiré du problème 3 de l'envoi d'arithmétique 2008-2009.

Soit [tex]P[/tex] un polynôme non constant à coefficients entiers. On note [tex]A[/tex] l'ensemble des nombres premiers qui divisent un entier de la forme [tex]P(i)[/tex], avec [tex]i\in \mathbb{Z}[/tex] et [tex]P(i) \neq 0[/tex].
Montrer qu'il existe une infinité d'entiers [tex]n[/tex] tels que l'intervalle d'entiers [tex][|n, 2n-1|][/tex] contienne au moins deux éléments de [tex]A[/tex].
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Re: Variante d'un vieux problème d'arithmétique

Messagepar Thomas B » Jeu 4 Août 2011 19:44

Plus généralement, est-ce-que quelqu'uns sait si il existe des théorèmes intéressants ou des moyens efficaces pour étudier cet ensemble A ? Parce que je me suis déjà posé pas mal de questions dessus (par exemple sa densité dans l'ensemble des nombres premiers, ou est-ce-qu'on peut trouver P et Q dont les "ensembles A" soient disjoints ?) et je n'ai jamais trouvé de réponses...
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Re: Variante d'un vieux problème d'arithmétique

Messagepar Noé » Jeu 4 Août 2011 20:32

En fait, j'ai donné cette propriété de l'ensemble [tex]A[/tex] à montrer pour "cacher" la méthode et rendre le problème plus intéressant, mais plus généralement, on peut montrer qu'il existe un réel [tex]\alpha > 0[/tex] tel que [tex]\displaystyle \sum_{p\in A}\frac{1}{p^{\alpha}}=+\infty[/tex]. L'ensemble [tex]A[/tex] n'est donc pas trop petit.
A part ça, je n'en sais pas plus. En fait, le problème que je me posais à l'origine était de savoir s'il existait un polynôme de [tex]\mathbb{Z}[X][/tex] non divisible par un polynôme de [tex]\mathbb{Q}[X][/tex] de degré [tex]1[/tex], et tel que [tex]A[/tex] soit l'ensemble des nombres premiers tout entier. Je n'ai pas la moindre idée de la réponse. Mais il est déjà intéressant de voir que pour [tex]P=X^2+1[/tex], [tex]A[/tex] est exactement l'ensemble des nombres premiers congrus à [tex]1[/tex] modulo [tex]4[/tex]. Comme quoi on peut quand même obtenir de "beaux" ensembles.
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Re: Variante d'un vieux problème d'arithmétique

Messagepar Thomas B » Jeu 4 Août 2011 21:41

Plus généralement, grâce à la loi de réciprocité quadratique, on peut trouver [tex]A[/tex] si [tex]P=X^2+a[/tex] et c'est toujours un ensemble assez sympathique. Avec un peu de chance, ça s'étend à tous les polynômes de degré 2. Pour les polynômes cyclotomiques, on connaît aussi. Après par contre...
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