Caractérisation des polynômes ?

Caractérisation des polynômes ?

Messagepar Noé » Jeu 24 Fév 2011 00:08

Il y a un problème que je me pose depuis des mois, je n'ai que très peu d'idées pour le résoudre, peut-être en avez vous :

On sait que pour un polynôme [tex]P \in \mathbb{Z} [X][/tex] et un entier naturel [tex]n[/tex], on a l'implication[tex]a \equiv b \; (mod \;n) \Rightarrow P(a) \equiv P(b) \; (mod \; n)[/tex].
Je me demandais si la réciproque était vraie, à savoir que si une fonction [tex]f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}[/tex] vérifie [tex]\forall (a, b) \in \mathbb{Z}^2, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (a \equiv b \, (mod \,n) \Rightarrow P(a) \equiv P(b) \, (mod \, n))[/tex], alors [tex]f[/tex] est polynômiale ? Et si on se restreint à [tex]n[/tex] premier ?

Des idées ?
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Re: Caractérisation des polynômes ?

Messagepar pierre » Jeu 24 Fév 2011 11:09

Arf... tu ne lis pas les grands auteurs....
Dans Mégamath, l'énoncé de l'exo AL-21(USA 1995) est le suivant :

Soit [tex](q_n)[/tex] une suite d'entiers vérifiant les deux conditions :
(i) Pour tous entiers [tex]m>n \geq 0[/tex], le nombre [tex]m-n[/tex] divise [tex]q_m - q_n[/tex]
(ii) Il existe un polynôme [tex]P[/tex] tel que, pour tout entier [tex]n[/tex], on ait [tex]|q_n| \leq P(n)[/tex].
Prouver qu'il existe un polynôme [tex]Q[/tex] tel que [tex]Q(n) = q_n[/tex] pour tout entier [tex]n[/tex].

Après la solution, il est signalé que :
- On peut prouver que la condition (ii) peut-être remplacée par la condition limsup[tex]|q_n|^{\frac1 n} < e-1[/tex] sans modifier la conclusion, mais que ce n'est plus vrai pour limsup[tex]|q_n|^{\frac1 n} \leq e[/tex] (attention, il y a une coquille dans le livre).
- On trouve une étude détaillée des fonctions [tex]f[/tex] de [tex]\mathbb{N}[/tex] dans [tex]\mathbb{Z}[/tex], ou de [tex]\mathbb{Z}[/tex] dans [tex]\mathbb{Z}[/tex], qui vérifient la propriété :
"Pour tous entiers [tex]m,n[/tex] distincts et dans le domaine de définition de [tex]f[/tex], le nombre [tex]m-n[/tex] divise [tex]f(m)-f(n)[/tex].

Références :
[1] American Math Monthly, ex 10185 (1994, p.85) et 10553 (1999, p.68-69).
[2] D. Callan, "When does [tex]m-n[/tex] divides [tex]f(m)-f(n)[/tex]? A look at column-finite matrices" Fibonacci Quaterly, 1997, p.290-299.

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Re: Caractérisation des polynômes ?

Messagepar pierre » Jeu 24 Fév 2011 11:15

J'avais planté la première remarque, j'ai édité...

Pierre.
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Re: Caractérisation des polynômes ?

Messagepar Noé » Jeu 24 Fév 2011 13:34

Merci !
J'étais presque certain que le résultat était vrai pour [tex]|q_n|[/tex] majoré par un polynôme, mais je l'aurai aussi cru dans le cas général... Bon je vais lire ça.
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