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www.animath.fr • Consulter le sujet - Cas particulier du théorème de Dirichlet

Cas particulier du théorème de Dirichlet

Cas particulier du théorème de Dirichlet

Messagepar Noé » Mer 30 Juin 2010 13:35

Ceci n'est pas vraiment un problème...
Le théorème de Dirichlet sur les suites arithmétiques se montre avec de l'analyse complexe. Je me demandais si le cas (très) particulier suivant pouvait se montrer avec des méthodes (relativement) élémentaires :
"Toute suite arithmétique dont les deux premiers termes sont premiers entre eux contient au moins un nombre premier".
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Re: Cas particulier du théorème de Dirichlet

Messagepar Thomas B » Mer 30 Juin 2010 14:25

En fait, une fois que tu as montré ça, c'est très facile de montrer qu'il y a une infinité de premiers dans la suite : il suffit de considérer des suites dans lesquelles la première est contenue... :P
La seule démonstration élémentaire que je "connaisse" (plus ou moins), c'est pour les suites de la forme [tex]an+1[/tex]
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Re: Cas particulier du théorème de Dirichlet

Messagepar Noé » Mer 30 Juin 2010 14:59

Aargl quel c... :? Comment j'ai pas vu ça ?
Bon je retente ma chance : peut-on prouver simplement que pour tous [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] premiers entre eux, il existe [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex] pas forcément positif, tel que [tex]ak+b[/tex] soit premier ?
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Re: Cas particulier du théorème de Dirichlet

Messagepar Thomas B » Jeu 1 Juil 2010 13:26

Je crois pas. De toute façon, un nombre premier est par définition positif :mrgreen:
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Re: Cas particulier du théorème de Dirichlet

Messagepar Noé » Sam 3 Juil 2010 18:35

C'est pas parce que [tex]k[/tex] est négatif que [tex]ak+b[/tex] l'est. L'intérêt de pouvoir prendre [tex]k[/tex] négatif est justement que dans ce cas, ta remarque au message 2 n'a plus lieu d'être ;) .
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