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Maximiser un produit de distances

MessagePublié: Ven 30 Avr 2010 14:01
par Noé
Petit problème extrait d'un autre forum (il est pas très difficile, mais sur l'autre forum ils essayaient tous une solution analytique, bêurk :? ) :
Soit ABC un triangle. Trouver la position du point M intérieur à ABC tel que le produit des distances de M à chacun des cotés soit maximal.

Re: Maximiser un produit de distances

MessagePublié: Sam 1 Mai 2010 13:15
par Thomas B
Soient a,b,c les côtés du triangle , A son aire et x,y,z les distances de M aux côtés. On veut le maximum de xyz avec ax + by + cz = A
Cela correspond au maximum de abcxyz avec ax + by + cz = A, donc d'après l'inégalité de la moyenne, le max est atteint pour ax = by = cz, c'est à dire quand ABM, BCM et CAM ont la même aire, c'est à dire quand M est le centre de gravité.

Maintenant, qu'est-ce-qui se passe si on remplace les distances aux côtés par les distances aux sommets ? (aucune idée, mais ça a 'air plus difficile...)
EDIT : en fait non j'ai pas réfléchi ça doit être un truc sur le bord du triangle