par Guillaume » Jeu 24 Nov 2011 23:33
Bonjour.
1) Oui.
En effet, les fonctions trouvées vérifieront bien P et Q.
En pratique, ça peut être difficile, par exemple si P est peu restrictive (donc beaucoup de fonctions remplissant cette condition).
On peut aussi imaginer des cas dans lesquels il faut jongler entre P et Q pour trouver de plus en plus d'indices sur la fonction.
2) A vrai dire ça dépend de la condition, qui peut même ne pas avoir de sens pour une fonction définie sur IN seulement (exemple : "pour tout x, f(pi*x)=f(x)").
Mais si la condition se décline naturellement sur IN (comme sous-ensemble de IR), alors effectivement, toute fonction qui ne respecte pas la condition sur IN ne pourra a fortiori pas la respecter sur IR........
Quand même quelques petits contre-exemples, avec E=IR.
- contre-exemple 1 : condition P : "f est bijective"
- contre-exemple 2 : condition P : "tout élément de [0,1] a un antécédent par f
Disons que ce sont des cas où la condition ne se décline par naturellement.
3) Oui de façon évidente si la condition est définie par "pour tout x dans IR, p(x)" avec p(x) une propriété dépendant de x et de f.
Pour le cas plus général, on peut encore trouver des contre-exemples dans l'esprit de ceux de 2). Par exemple : E=IR et P : "f est surjective".
Guillaume
Bonjour.
1) Oui.
En effet, les fonctions trouvées vérifieront bien P et Q.
En pratique, ça peut être difficile, par exemple si P est peu restrictive (donc beaucoup de fonctions remplissant cette condition).
On peut aussi imaginer des cas dans lesquels il faut jongler entre P et Q pour trouver de plus en plus d'indices sur la fonction.
2) A vrai dire ça dépend de la condition, qui peut même ne pas avoir de sens pour une fonction définie sur IN seulement (exemple : "pour tout x, f(pi*x)=f(x)").
Mais si la condition se décline naturellement sur IN (comme sous-ensemble de IR), alors effectivement, toute fonction qui ne respecte pas la condition sur IN ne pourra a fortiori pas la respecter sur IR........
Quand même quelques petits contre-exemples, avec E=IR.
- contre-exemple 1 : condition P : "f est bijective"
- contre-exemple 2 : condition P : "tout élément de [0,1] a un antécédent par f
Disons que ce sont des cas où la condition ne se décline par naturellement.
3) Oui de façon évidente si la condition est définie par "pour tout x dans IR, p(x)" avec p(x) une propriété dépendant de x et de f.
Pour le cas plus général, on peut encore trouver des contre-exemples dans l'esprit de ceux de 2). Par exemple : E=IR et P : "f est surjective".
Guillaume